Стохастические системы и сети обслуживания

Фосс С.Г.
Действительно, кто из нас не сталкивался с очередями? Нам часто приходится тратить время на ожидание: в магазине мы стоим в очереди, в автобусе или автомашине ждем зеленого сигнала светофора или (что хуже) попадаем в дорожные пробки; долго пытаемся дозвониться по телефону или войти в сеть ИНТЕРНЕТ... Каждый легко вспомнит массу примеров потери времени на ожидание - еженедельной, ежедневной, даже ежечасной. Можно произвести приближенный подсчет, сколько в среднем за неделю вы простаиваете во всех очередях, с которыми сталкиваетесь. Затем умножить это время на число недель в году - и ужаснуться! Из-за чего возникают очереди? Во всех случаях схема, по сути, одна и та же: есть некоторое количество "клиентов", каждый из которых желает "обслужиться" в одном и том же месте, и сделать это одновременно они не могут - их интересы вступают в "конфликт". Для того, чтобы этот конфликт разрешать, формируется некоторое правило (алгоритм, дисциплина), упорядочивающее обслуживания клиентов. В одних случаях (например, в случае со светофором) правила задаются заранее, "третьим лицом"; в других они формируются стихийно. Математическая теория систем обслуживания - область прикладной математики, использующая методы теории вероятностей и математической статистики. Часто ее называют также теорией массового обслуживания, а в англоязычной литературе - теорией очередей (queueing theory). Стимулом к развитию теории систем обслуживания явилось стремление научиться предсказывать случайно изменяющиеся потребности по результатам наблюдений и на основе этого организовывать обслуживание с приемлемым временем ожидания.
Статья  Путеводитель В МИРЕ НАУКИ для школьников
 

Разбиения многоугольников

И.Б. Казакова
Хорошо известно, что разбиения многоугольника на треугольники и многогранника на тетраэдры служат основой при построении теории площади и объема. Кроме того, специального вида разбиения (триангуляции) являются удобным инструментом в доказательстве существования неподвижных и почти неподвижных точек у непрерывных отображений полиэдров. Поэтому возможность такого рода разбиений требует строгого доказательства. Существует несколько различных вариантов решения этой проблемы. Один из них, использующий математическую индукцию, основан на поиске разбивающей диагонали в многоугольнике. Согласно другому известному способу доказательства необходимо провести все прямые, содержащие стороны многоугольника, и рассмотреть всевозможные пересечения полученных полуплоскостей. Останется разбить на треугольники только те пересечения, которые содержаться в данном многоугольнике...
Статья  Журнал по математике, информатике и физике для школьников (и не только).
 

Разрезание фигур

Ю. А. Шашкин
Имеется много различных задач на разрезание и складывание плоских и пространственных фигур. Считается, что такие задачи относятся к числу развлекательных и не очень серьезных. До некоторой степени это действительно так. Однако эта тематика не очень далека от серьезной математической задачи - задачи о равновеликих и равносоставленных фигурах, которая исходит от античных геометров и в которой имеется ряд интересных вопросов, не решенных до сих пор. Наконец, к указанной тематике относится и абсолютно практическая теория рационального раскроя материалов.
Статья  Журнал по математике, информатике и физике для школьников (и не только).
 

Об одной характеристике выпуклых множеств

Л. М. Волков
Мы будем рассматривать множества точек пространства или плоскости. Чтобы статья была доступна школьникам 8-9 классов, незнакомым со стереометрией, основные результаты сформулированы и доказаны для множеств на плоскости. Пространственный случай предлагается к рассмотрению в упражнениях. Напомним, прежде всего, какое множество называется выпуклым…
Статья  Журнал по математике, информатике и физике для школьников (и не только).
 

Алгоритм Брезенхема построения окружности

С. Л. Островский
Значительная часть школьного курса геометрии посвящена задачам на построение. Вопросы, связанные с алгоритмами построения геометрических фигур, интересовали еще математиков древности. Более поздние исследования показали их тесную связь с фундаментальными вопросами математики (достаточно вспомнить классические задачи о трисекции угла и квадратуре круга). Появление ЭВМ поставило перед математиками принципиально новые вопросы, которые не могли возникнуть в докомпьютерную эпоху. К их числу относятся задачи построения элементарных графических объектов - линий и окружностей.
Любая геометрическая фигура может быть определена как некоторое множество точек плоскости. В геометрии это множество, как правило, бесконечно; даже отрезок содержит бесконечно много точек...
Статья  Журнал по математике, информатике и физике для школьников (и не только).
 

Жемчужина, добытая ван дер Варденом

И. О. Коряков
В 1926 году назад молодой (тогда) голландский математик Бартел Лендерт ван вер Варден (2.02.1903-13.02.1996) доказал следующую теорему:
Теорема ван дер Вардена. Если множество всех натуральных чисел любым способом разбито на конечное число классов, то хотя бы один из этих классов содержит сколь угодно длинную арифметическую прогрессии.
Этот удивительный по простоте формулировки и очень нетривиальный по доказательству результат выдающийся российский математик и педагог Александр Яковлевич Хинчин (19.07.1894-18.11.1959) назвал одной из жемчужин теории чисел.
В статье приводится вполне элементарное и достаточно короткое доказательство теоремы ван дер Вардена.
Статья  Журнал по математике, информатике и физике для школьников (и не только).
 

Теорема Эйлера о многогранниках

Ю. А. Шашкин
Замечательная теорема о выпуклых многогранниках, которой посвящена эта статья, была опубликована Л. Эйлером (1707-1783) в 1758 году. Позднее обнаружилось, что она была известна Р. Декарту (1596-1650) почти за 100 лет до Эйлера. Сейчас принято называть теоремой (или формулой) Эйлера соотношение между числами вершин, ребер и граней многогранника, а теоремой Декарта - утверждение о сумме его плоских углов, которое легко следует из теоремы Эйлера.
Мы дадим здесь два доказательства теоремы Эйлера и некоторые следствия из нее.
Статья  Журнал по математике, информатике и физике для школьников (и не только).
 

Неподвижные точки и лемма Шпернера

Ю. А. Шашкин
Когда мы хотим решить какое-нибудь уравнение, нам важно заранее знать, имеет ли оно корни. Это особенно существенно, когда речь идет о сложных уравнениях или системах уравнений и их решений на современных ЭВМ. Наличие корней уравнений обычно гарантируется так называемыми теоремами существования. Вот одна из простейших теорем такого типа...
Статья  Журнал по математике, информатике и физике для школьников (и не только).
 

Проблема конечности базиса тождеств

М. В. Волков
С тождествами школьник сталкивается буквально с первых дней обучения математике. Уже первоклассник заучивает правило "от перемены мест слагаемых сумма не меняется". Затем появляются аналогичное правило для произведения, сочетательные и распределительные законы, формулы "разность квадратов", "квадрат суммы", основное тригонометрическое тождество, основное логарифмическое тождество, и прочая, и прочая, и прочая...
Статья  Журнал по математике, информатике и физике для школьников (и не только).
 

Симметpия относительно окpужности

С.А. Ануфриенко
В статье представлен единый подход в решении известных геометрических проблем (некоторое их множество перечислено во введении к статье). Этот подход основан на свойствах симметрии относительно окружности (их изучению посвящен третий параграф статьи). В четвертом параграфе доказывается основная теорема геометрии циркуля (теорема Мора-Маскерони) о возможности решения задачи на построения с использованием одного циркуля. В пятом параграфе приведено решение классической задачи на построение окружности, касающейся трех данных окружностей (задача Аполлония). В шестом параграфе доказываются теоремы Эйлера и Фейербаха. Последняя из них является одним из самых красивых и неожиданных результатов планиметрии. В двух последних параграфах приведены задачи для самостоятельного решения и указания по их решению.
Статья  Журнал по математике, информатике и физике для школьников (и не только).